素数
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1から9までの数字が、1枚に1つ書かれてるカードが9枚あります。
上のカードを9枚並べて9ケタの素数を作ります。この時、素数はいくつできますか?
できた素数の数と、その答えになる理由を教えてください!
0個です。
理由は、各桁の数字を足し算して作った整数が3で割り切れるとき、元の整数も3で割り切ることができるから。
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
45は3で割り切れるので、9枚のカードを使った9桁の数字は全て3で割り切れる事になります。
因みに、なぜ各桁の数字を足し算して作った整数が3で割り切れるとき、元の整数も3で割り切れるかと言うと
9桁は多いので一例として3桁の数でそれを証明すると
1の位を a
10の位をb
100の位をcとすると
100c+10b+aと表すことができます。
そこから、
100c+10b+a=(99c+c)+(9b+b)+a
=(99c+9b)+(c+b+a)=3(33c+3b)+(c+b+a)
と変換出来ます。
この時3桁の数字を足した時が3の倍数であるとして
3(33c+3b)も(c+b+a)も必ず3の倍数と言えます。
よって、100c+10b+aは3の倍数となります。
これが9桁の時もやり方は同じです。
靖一郎
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